要找出 LCS ，就得先體會到其分割問題的精妙之處。這裡開始介紹分割問題的方法。

現在有兩個 sequence 分別為 s1 、 s2 ，現在要找出 s1 和 s2 的 LCS 。先將 s1 的最後一個元素拆出來，這個元素稱作 e1 ，而剩餘的部分稱作 sub1 好了。這裡以一道式子來簡單表示出剛剛的拆法，就是 s1 = sub1 + e1 。同樣的 s2 = sub2 + e2 。

要找出 s1 和 s2 的 LCS ，就等於是找出 sub1 + e1 和 sub2 + e2 的 LCS 。現在來觀察 sub1 、 e1 、 sub2 、 e2 與 LCS 的關係吧！首先將所有情況粗略的分做四種：一、 e1 是 LCS 的一部份，而 e2 不是；二、 e2 才是 LCS 的一部份，而 e1 不是；三、 e1 和 e2 都不是 LCS 的一部份；四、 e1 和 e2 都是 LCS 的一部份。

第一種情況。如果 e1 是 LCS 的一部份，而 e2 不是，那麼對 e1 來說，在 sub2 一定要能找到一個元素，和 e1 相同，才可能形成包含了 e1 的 LCS 。以另外一個方向去思考，則可以說 e2 是沒有用的元素，要找 LCS 只需要去找 sub2 就可以了。以上可以歸納一個結論： s1 和 s2 的 LCS ，其實就是 s1 和 sub2 的 LCS ，可以把 e2 排擠掉。

第二種情況。和第一種情況類似， s1 和 s2 的 LCS ，其實就是 sub1 和 s2 的 LCS 。

第三種情況。如果 e1 和 e2 都不是 LCS 的一部份，那麼直接找 sub1 和 sub2 的 LCS 就好啦！

第四種情況。如果 e1 和 e2 都是 LCS 的一部份，再者 e1 和 e2 都在最尾端，所以這種情況下， e1 和 e2 是一定會相等的！而且 e1 亦會是 LCS 的最後一個元素。既然 e1 、 e2 都肯定是 LCS 的最後一個元素了，那麼要找剩下的部份，只需要從 sub1 和 sub2 著手即可，如同第三種情況一般。可以歸納出一個結論： s1 和 s2 的 LCS ，必定是 sub1 和 sub2 的 LCS 在尾端加上 e1 （也是 e2 ）。

總合以上分析，可以得到一個 recurrence 如下。